Ląsteliniai automatai

2002 metais Stefenas Volframas, knygoje A New Kind of Science, iškėlė mintį, kad gamtos taisyklės yra labai paprastos, o sudėtingumas tėra įspūdis susidarantis stebint ją. Keldamas šią mintį Volframas iš naujo atrado paprastas programas (anksčiau žinomas ląstelinių automatų vardu). Šios programos, kaip ir aplinkinis pasaulis Volframo teigimu, pagal apibrėžimą yra labai paprastos, bet jų evoliucija yra sudėtinga ir tam tikrais atvejais netgi chaotinė. Šiuo požiūriu paprastos programos gali būti sunkiai atskiriamos nuo stochastinių procesų.

Visgi ląsteliniai automatai nuo stochastinių procesų modelių skiriasi. Paprastos programos dažniausiai yra determinuotos – jos gali savyje neturėti jokio atsitiktinumo – tačiau jos vistiek galės demonstruoti chaotinį elgesį. Tuo ląsteliniai automatai primena sudėtingas dinamines sistemas, kurios taip pat yra determinuotos, bet galinčios demonstruoti taip vadinamą dinaminį chaosą. Visgi priešingai nei dinaminės sistemos ląsteliniai automatai nenaudoja jokios sudėtingos matematikos, kuri dažnai lydi sudėtingų dinaminių sistemų aprašymą.

Taigi šiame svetainės skyriuje mes pademonstruosime, kad ir paprastų taisyklių pagalba galima gauti sudėtingą, chaotinį, elgesį.

Įrašo "„Rinkėjo“ modelis" reprezentacinis paveikslėlis

1973 metais du britų mokslininkai pasiūlė elementarų rūšių konflikto modelį, kurio generuojami rezultatai labai priklausė nuo topologijos matiškumo [1]. Vienmačiu atveju viena rūšis visada nugalėdavo, o dvimačiu rezultatas jau nebuvo toks aiškus. Per sekančius kelis dešimtmečius šis modelis atrodo taikymų sociologijoje ir tapo žinomas kaip „rinkėjo“ modelis (angl. voter model). Šiame tekste supažindinsime jus su elementariausia šio modelio versija. Skaityti „„Rinkėjo“ modelis“ toliau

Įrašo "Smėlio krūvos modelis" reprezentacinis paveikslėlis

1987 metais Per Bak, Chao Tang ir Kurt Wiesenfeld pasiūlė įdomų ląsteliniu automatu paremtą modelį, smėlio krūvos modelį, kuris pasižymi kritine būsena [1, 2, 3]. Šioje kritinėje būsenoje pavieniai sistemos trikdžiai gali sukelti milžiniškas pasekmes arba nesukelti visiškai jokių. Šių trikdžių sukeliamos pasekmės gali būti aprašytos statistiškai pasinaudojus laipsniniu pasiskirstymu.

Šiame tekste mes trumpai išdėstysime šio modelio veikimo principus ir pateiksime interaktyvią programėlę. Norėtume atkreipti skaitytojų dėmesį, kad labai panašų modelį jau buvome aptarę kiek anksčiau (žr. Žemės drebėjimų modelį). Skaityti „Smėlio krūvos modelis“ toliau

Įrašo "Žemės drebėjimų modelis" reprezentacinis paveikslėlis

Vienas klasikinių laipsninių pasiskirstymo pavyzdžių randamas geologijoje. Turime mintyje būtent Gutenbergo-Richeterio dėsnį, kuris nusako sąryšį tarp žemės drebėjimo stiprumo ir žemės drebėjimų skaičiaus. Matematiškai šis dėsnis užrašomas kaip \( \lg N = a – b M \). Šioje išraiškoje \( N \) yra žemės drebėjimų stipresnių arba vertinamų \( M \) balais skaičius, \( b \) yra empiriškai nustatomas dydis, kuris gali priklausyti nuo regiono seisminio aktyvumo, o \( a = \lg N_0 \).

Šiame tekste pristatysime elementarų saviorganizuoto kritiškumo modelį, kuris atkuria laipsninį žemės drebėjimų skirstinį – Olami-Feder-Christensen modelį. Skaityti „Žemės drebėjimų modelis“ toliau

Įrašo "Sierpinskio trikampis" reprezentacinis paveikslėlis

Sierpinskio trikampis yra fraktalas pavadintas lenkų matematiko Vaclavo Sierpinskio vardu. Ši garbė jam teko dėl to, kad jis buvo pirmasis aprašęs šį fraktalą dar 1915 metais. Pats fraktalas yra įdomus dėl to, kad jis yra dvimatis atraktorius kelioms iteracinėms operacijoms susijusioms su trikampiais (bet ne tik).

Šiame tekste mes aptarsime iteracinį trikampių šalinimą, mažinimą ir kopijavimą, chaoso žaidimą ir trumpai paminėsime Lindenmayerio sistemą, ląstelinius automatus ir Paskalio trikampius. Skaityti „Sierpinskio trikampis“ toliau

Belousovo-Žabotinskio reakcija [1] yra cheminė reakcija, o tiksliau visa reakcijų „šeima“, pasižyminti osciliacijomis.

Ši reakcija yra vienas klasikinių netiesinių osciliacijų pavyzdžių gamtoje, tad jos modeliavimas yra ypatingai svarbus Rizikos fizikos kontekste. Kitas gerai žinomas pavyzdys, jau nagrinėtas Rizikos fizikoje, yra aukos-plėšrūnų sąveika ekosistemoje. Įdomu tai, kad nepaisant esminių šių sistemų skirtumų abiem modeliuoti tinka tos pačios Lotka-Volterra lygtys.

Be sąsajų su šiuo anksčiau aptartu modeliu pateiksime ir diskretų erdvinį ląstelinį automatą, kuris atkuria erdvines Belousovo-Žabotinskio reakcijoms būdingas osciliacijas. Skaityti „Belousovo-Žabotinskio reakcija“ toliau

Įrašo "Wolframo elementarios programėlės" reprezentacinis paveikslėlis

Matematikoje ir skaičiavimų teorijoje elementariomis programėlėmis, o tiksliau elementariais ląsteliniais automatais, vadinami vienmačiai ląsteliniai automatai, kurių ląstelės gali būti vienoje iš dviejų būsenų – t.y. tik įjungtos arba išjungtos. Taip pat svarbu žinoti, kad elementarių ląstelinių automatų ląstelės būsena duotu laiko momentu, \( x_{i,t} \), priklauso tik nuo pačios ląstelės ir jos artimiausių kaimynų būsenų ankstesniu laiko momentu, \( \{x_{i-1,t-1},x_{i,t-1},x_{i+1,t-1}\} \). Dėl šių apribojimų tokie ląsteliniai automatai atrodo labai paprasti, tačiau jais galima imituoti gan sudėtingą ar net chaotinę elgseną. Skaityti „Wolframo elementarios programėlės“ toliau