Dinaminis chaosas

Fizikai mėgsta net pačias sudėtingiausias sistemas aprašyti matematinėmis, dažniausiai diferencialinėmis, lygtimis. Sistemų aprašymas diferencialinėmis lygtimis fizikoje vadinamas dinaminiu, o lygtys dažnai vadinamos dinaminėmis. Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad išsprendus tokių lygčių sistemą galėtume tiksliai pasakyti kokia bus bet kokios dinaminės sistemos būsena bet kuriuo laiko momentu. Taigi atrodo, kad žinodami sistemą aprašančias lygtis žinosime ir kaip ji evoliucionuos.

Teorijoje viskas gražu, bet norint taikyti lygtis praktikoje reikia atlikti stebėjimus. O pastarieji savo ruožtu tėra apytikris tikrovės įvertinimas – kiekvienas matavimas turi kažkokių, net jei ir labai mažų, paklaidų. Paklaidos gali neturėti jokios įtakos, jei sistema yra tiesinė. Tokiu atveju evoliucijos prognozė nuo stebimos evoliucijos skirsis nežymiai. Tačiau daugybė įdomių sistemų yra netiesinės. O šie netiesiškumai gali sustiprinti net mažiausias paklaidas ir sąlygoti vis didesnį sprendinių prasiskyrimą. Prasiskiriant sprendiniams, prognozė paremta apytikriais įvertinimais gali pradėti skirtis nuo to kas realiai bus stebima. Atrodo, kad kaltas bus kažkoks nelemtas atsitiktinumas, bet tikrasis kaltininkas yra dinaminis chaosas.

Tipinis dinaminio chaoso pavyzdys yra plačiai žinomas Drugelio efektas – drugelio sparnų mostelėjimas praėjus savaitei gali būti uragano priežastimi už kelių tūkstančių kilometrų. Šiame svetainės skyriuje mes pateiksime ir kitus dinaminio chaoso pavyzdžius, kuriais sieksime pademonstruoti, kad net mažiausia paklaida gali būti tikro netikėtumo ir chaoso priežastimi.

Įrašo "Smėlio krūvos modelis" reprezentacinis paveikslėlis

1987 metais Per Bak, Chao Tang ir Kurt Wiesenfeld pasiūlė įdomų ląsteliniu automatu paremtą modelį, smėlio krūvos modelį, kuris pasižymi kritine būsena [1, 2, 3]. Šioje kritinėje būsenoje pavieniai sistemos trikdžiai gali sukelti milžiniškas pasekmes arba nesukelti visiškai jokių. Šių trikdžių sukeliamos pasekmės gali būti aprašytos statistiškai pasinaudojus laipsniniu pasiskirstymu.

Šiame tekste mes trumpai išdėstysime šio modelio veikimo principus ir pateiksime interaktyvią programėlę. Norėtume atkreipti skaitytojų dėmesį, kad labai panašų modelį jau buvome aptarę kiek anksčiau (žr. Žemės drebėjimų modelį). Skaityti „Smėlio krūvos modelis“ toliau

Prof. Cars Hommes iš Amsterdamo universiteto baigė matematikos bakalaurą ir magistrą, jo pirminiai tyrimų interesai buvo susiję su dinaminiu chaosu ir keistaisiais atraktoriais. Visgi gyvenimas pasisuko taip, kad jį pradėjo dominti ekonomika – jis įgijo ekonomikos mokslų daktaro laipsnį. Dabar prof. Cars Hommes yra vienas žinomesnių ekonomistų darančių laboratorinius eksperimentus – saugiomis sąlygomis ieško neracionalaus ir įvairialypio ekonominio elgesio bendrumų.

Kviečiame paklausyti jo interviu duoto Institute for New Economic Thinking (INET youtube paskyrą rasite spustelėję šią nuorodą).

Įrašo "Chaotinė dinamika periodiškai smūgiuojamo rotoriaus uždavinyje" reprezentacinis paveikslėlis

Periodiškai smūgiuojamo rotoriaus uždavinys yra vienas klasikinių dinaminio chaoso atsiradimo pavyzdžių fizikoje. Šiame uždavinyje mes turime ratu judančią dalelę (pvz., rutulys užmautas ant strypo). Šią dalelę veikia tik tam tikro stiprumo, \( K \), išorinė jėga (kitos jėgos ir apribojimai tik užduoda rato trajektoriją). Ši išorinė jėga įjungiama periodiškai (tegu išorinės jėgos įjungimo periodas yra mūsų laiko matas, t.y. \( T=1 \)) ir labai trumpam (t.y., kad jėgos poveikį galima būtų aprašyti Dirako delta funkcija). Skaityti „Chaotinė dinamika periodiškai smūgiuojamo rotoriaus uždavinyje“ toliau

Įrašo "Žemės drebėjimų modelis" reprezentacinis paveikslėlis

Vienas klasikinių laipsninių pasiskirstymo pavyzdžių randamas geologijoje. Turime mintyje būtent Gutenbergo-Richeterio dėsnį, kuris nusako sąryšį tarp žemės drebėjimo stiprumo ir žemės drebėjimų skaičiaus. Matematiškai šis dėsnis užrašomas kaip \( \lg N = a – b M \). Šioje išraiškoje \( N \) yra žemės drebėjimų stipresnių arba vertinamų \( M \) balais skaičius, \( b \) yra empiriškai nustatomas dydis, kuris gali priklausyti nuo regiono seisminio aktyvumo, o \( a = \lg N_0 \).

Šiame tekste pristatysime elementarų saviorganizuoto kritiškumo modelį, kuris atkuria laipsninį žemės drebėjimų skirstinį – Olami-Feder-Christensen modelį. Skaityti „Žemės drebėjimų modelis“ toliau

Įrašo "Atsitiktinio atraktoriaus HTML 5 programėlė" reprezentacinis paveikslėlis

Kiek anksčiau jau rašėme apie atsitiktinai generuojamus atraktorius. Tą kartą kartu su tekstu buvome paskelbę Wolfram CDF technologija paremtą programėlę, o šiandien mes senąjį tekstą atnaujinome pakeisdami Wolfram CDF programelę interaktyvesne HTML5 naujovėmis paremta programėle.

Kodėl atlikome šį pakeitimą? Atsakymas yra elementarus – norint paleisti Wolfram CDF programėlę reikia būti įsidiegus specialią programinę įrangą, kurios daugelis vartotojų veikiausiai neturi įsidiegę, o HTML5 programėlės veikia visose šiuolaikinėse naršyklėse. Problemų kilti gali nebent su senesnėmis Internet Explorer versijomis (9 arba senesnės), tad rekomenduojame atsinaujinti Internet Explorer iki naujausios (šiuo metu 10) versijos arba pereiti prie kitos šiuolaikinės naršyklės naudojimo.

Atsitiktinai generuojamo atraktoriaus programėlę rasite senajame tekste ir čia.