Izingo modelis

ising thumb

Izingo modelis – tai apibendrintas feromagnetizmo matematinis modelis statistinėje fizikoje. Šiame modelyje magnetinį sukinį turinčios dalelės yra patalpinamos į apibendrinto grafo viršūnes. Bendru atveju grafo struktūra gali būti įvairi, bet įprastu atveju apsiribojama įvairių dimensijų gardelėmis. Modelinės sistemos elgesys yra stebimas esant įvairioms temperatūroms ir yra ieškoma fazinio virsmo taško. Taigi pagrindinė šio modelio problema ir tikslas yra supaprastinto fazinio virsmo modeliuojamoje struktūroje atkūrimas. Norint suprasti ir pažinti Izingo modelio interpretacijų įvairovę vertėtų paskaityti [1, 2] darbus, nes šiame aprašyme mes apsiribosime tik viena galima, skaitmenine, modelio interpretacija – sąlyčio su termostatu interpretacija.

Svarbu pastebėti, kad šis modelis puikiai tinka ne tik įprastiems taikymams statistinėje fizikoje, bet ir turi tarpdisciplininių taikymų. Juk į grafus galima patalpinti realių žmonių elgesį imituojančius agentus, kurių nuomones vienu ar kitu klausimu galima būtų apibendrintai vaizduoti kaip sukinius, ir taip bandyti imituoti žmogišką bandos jausmą (pvz. [3, 4, 5]).

Apie Izingo modelį

Kiekviena modeliuojamos sistemos dalelė gali sąveikauti tiek su kitomis dalelėmis, tiek su išoriniu magnetiniu lauku, taigi šios sistemos Hamiltonianas gali būti užrašytas kaip

\begin{equation}\mathcal{H} = – \frac{1}{2} \sum\limits_{j \neq i=1}^{N} J_{i,j} \vec S_i \vec S_j – \vec H \sum\limits_{i=1}^{N} \vec S_i , \end{equation}

čia \(J_{i,j} \) sąveikos tarp dviejų dalelių, i-tosios ir j-tosios, stipris, \(\vec S_i\) i-tosios dalelės sukinys, \(\vec H\) magnetinio lauko stipris.

Šis Hamiltonianas yra ganėtinai bendras, o originaliame Izingo modelyje jis yra šiek tiek supaprastinamas. Visu pirma tariama, kad dalelių sukiniai gali išsidėstyti tik lygiagrečiai pasirinktai ašiai, tad \(\vec S_i\) projekcija į tą ašį, \(s_i\), gali įgyti tik \(\pm 1\) reikšmes. Padarius šią prielaidą apie sukinius galima atsižvelgti tik į vieną magnetinio lauko \(\vec H\) projekciją, projekciją į pasirinktą ašį, \(h\). Taip pat atkreipkime dėmesį į tai, kad sąveikos stipris tarp dviejų dalelių turėtų greitai mažėti didėjant atstumui tarp dalelių. Taigi paprasčiausiu atveju galima padaryti prielaidą, kad dalelė sąveikauja tik su savo artimiausioms kaimynėmis. Dvimatės gardelės, mūsų pasirinktos struktūros, atveju šių kaimynių yra keturios. Taigi Hamiltonianas yra supaprastinamas iki

\begin{equation}\mathcal{H_{2D}} = – J \sum\limits_{x,y} s_{x,y} \left( s_{x+1,y} + s_{x,y+1} \right) – h \sum\limits_{x,y} s_{x,y} , \end{equation}

čia \(x \) ir \(y \) yra dvimatės gardelės koordinatės (sumavimus atliekamas per jas).

Originalaus Izingo modelio atveju sąveikos stipris tarp kaimynių dalelių, \(J\), yra laikomas lygiu 1 – modeliuojama medžiaga žemiau kritinės temperatūros turi feromagnetinių savybių, o aukščiau – paramagnetinių. Taigi iš Hamiltoniano išraiškos galima būtų išimti \(J\), bet kadangi programoje realizavome ir priešingą, antiferomagnetinį (\(J = -1\)), atvejį, tai \(J\) Hamiltoniano išraiškoje palikome. Visgi toliau tekste apsiribosime tik feromagnetinio atvejo analize, nes antiferomagnetiniu atveju fazinis virsmas nėra stebimas.

Temperatūra į modelį yra įvedama naudojant termostatą. Kas kartą atsitiktinai pasirinkus dalelę, ji yra sujungiama su pasirinktos temperatūros termostatu. Sujungtai sistemai leidžiama nusistovėti – t.y. nauja dalelės būsena yra parenkama atsitiktinai pagal energijos stebėjimo tikimybę. Kaip žinome ši tikimybė yra nustatoma iš Bolcmano pasiskirstymo – tikimybė stebėti būseną su energija \(E\) yra proporcinga \(\exp \left(- \frac{E}{k T} \right)\).

Modelio fazės ir fazinis virsmas modelyje

Iš tokio temperatūros įvedimo seka, kad modelio elgsena bus skirtinga esant skirtingoms temperatūroms – egzistuos dvi skirtingos fazės. Aukštos temperatūros atveju dominuos netvarka – dalelės didins savo energiją išorinės šilumos sąskaita. O jei temperatūra bus žema, tai dalelės negalės pasiimti energijos iš aplinkos, tad dominuos jų polinkis minimizuoti savo energiją – dominuos tvarka. Tvarkos, feromagnetinės, fazės atveju iš pradžių susiformuos ir plėsis vienodų sukinių domenai, kol galų gale vienas domenas apims visą gardelę. Įdomus yra tarpinis atvejis – kai už tvarką ir netvarką atsakingi procesai atsveria vienas kitą. Tokiu atveju, krizinės temperatūros aplinkoje, stebėsime besiformuojančius domenus ir tai kaip jie nyksta dėl atsitiktinių sukinio „apsivertimų“. Žemiau, 1 pav., demonstruojame tipinius gardelių vaizdus šiais trim atvejais.

phases Izingo modelis interactive models general models  statistinė fizika seni modeliai magnetizmas Izingo modelis
1 pav. Trys skirtingos Izingo modelio fazės: paramagnetinė, krizinė, feromagnetinė.

Norint skaitmeniškai rasti krizinę temperatūrą, reikia perrinkti galimas temperatūras stebint kaip kinta įmagnetėjimas ir sistemos energija. Žemiau, 2 pav., mes demonstruojame kaip kinta šie sistemos stebimieji kintamieji keičiant modelio parametrą \(\frac{\Delta E}{k T}\) (\(\frac{\Delta \mathcal{H}}{k T} = \frac{\Delta E}{k T} J \sum\limits_{\langle i , j \rangle} s_j s_i \)), kuris turi atvirkštinės temperatūros išmatuotos sukinių energijos vienetais prasmę. Kaip matome iš paveikslų fazinis virsmas vyksta intervale \(0.3 < \left( \frac{\Delta E}{k T} \right)_c < 0.5 \).

temperature ising metrapolis 2D Izingo modelis interactive models general models  statistinė fizika seni modeliai magnetizmas Izingo modelis
2 pav. Sistemos absoliutus įmagnetėjimas (a) ir energija (b) stebima po 107 sukinių apvertimų esant skirtingoms modelį valdančioms parametro ΔE/kT vertėms.

Lyg šiol laikėme, kad dalelių neveikia išorinis magnetinis laukas. Kas pasikeistų jei įjungtume išorinį magnetinį lauką? Išorinis magnetinis laukas iš esmės nieko nepakeičia, o tik pažeidžia sukinių simetriją – sukiniai linksta pasisukti magnetinio lauko kryptimi. Žemiau, 3 pav., pateikiame h-1/T fazinę diagramą.

magnetic field temperature ising phases Izingo modelis interactive models general models  statistinė fizika seni modeliai magnetizmas Izingo modelis
3 pav. h-1/T fazinė diagrama: raudonoje ir mėlynoje srityse įsivyrauja vienos krypties sukiniai (s=1 raudonoje, s=-1 mėlynoje), violetinė sritis atitinka paramagnetinę fazę, dryžuota sritis apie h=0 atitinka feromagnetinę fazę, o žalia sritis krizinę būseną. h=0 sritis, dėl vizualumo, yra padidinta likusių fazinės erdvės sričių atžvilgiu.

HTML5 programėlė

Šioje programėlėje realizuotas aukščiau aptartas Izingo modelis 50×50 dvimatėje sukinių gardelėje. Programėlė išveda keturis paveikslus – sukinių paveikslas, energijos, entropijos ir įmagnetėjimo kitimo grafikai. Viena iteracija atitinka tūkstantį bandymų apversti atsitiktinai parenkamų dalelių sukininius. Pabaigus kiekvieną iteraciją atnaujinami visi keturi paveikslai. Skaičiavimai pradedami nuspaudus mygtuką „Pradėti“ ir yra tęsiami kol vartotojas nenuspaudžia mygtuko „Stabdyti“. Sustabdžius skaičiavimą galima jį vėliau pratęsti arba pradėti skaičiavimą iš naujo.

Jei jus domina seniau šio straipsnio pagrindine programėle buvusi Java naršyklės programėlė, tai ją galite peržiūrėti spustelėję čia. Naujos HTML5 programėlės ir Java programėlės funkcionalumai yra iš esmės identiški.

Literatūra

  • R. J. Baxter. Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press Inc., Harcourt Brace Jovanovich Publishers, London, 1982. http://tpsrv.anu.edu.au/Members/baxter/book.
  • J. P. Sethna. Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters and Complexity. Clarendon Press, Oxford, 2009. http://pages.physics.cornell.edu/sethna/StatMech/.
  • S. Bornholdt. Expectation bubbles in a spin model of markets: Intermittency from frustration across scales. International Journal of Modern Physics C 12 (5), 2001, psl. 667-674.
  • T. Kaizoji, S. Bornholdt, Y. Fujiwara. Dynamics of price and trading volume in a spin model of stock markets with heterogeneous agents. Physica A 316, 2002, psl. 441-452.
  • S. H. Yook, H. J. Kim, Y. Kim. Agent-based generalized spin model for financial markets on two-dimensional lattices. Journal of the Korean Physical Society 52, 2008, psl. S150-S153.
Palikti atsiliepimą

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *

Galite naudoti šias HTML žymas ir atributus: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>