Rizikos fizika

Entomologiniai tyrimai atskleidžia įdomų faktą – skruzdžių kolonija vienu laiko momentu naudoja tik vieną maisto šaltinį, net jei greta yra kitas lygiavertis maisto šaltinis. Dar įdomiau yra tai, kad tam tikrais laiko momentais skruzdės pereina prie kito maisto šaltinio, net jei anksčiau naudoto maisto šaltinio kokybė nepasikeičia. 1993 metais Alanas Kirmanas pasiūlė, kad taip gali nutikti dėl bandos jausmo svarbos skruzdžių elgesyje 1.

Kiekvienu laiko momentu dalis skruzdžių veikia savarankiškai – jos atsitiktinai ieško naujų maisto šaltinių. Radusios naują maisto šaltinį skruzdės apie tai praneša savo kolegėms. Skruzdės gavusios informaciją apie naudojamą maisto šaltinį apsisprendžia kokį maisto šaltinį naudoti toliau. Jei maisto šaltiniai yra identiški savo kokybe, tai vienintelis skruzdės sprendimą lemiantis veiksnys yra skaičius skruzdžių naudojančių vieną ar kitą maisto šaltinį. Taigi tokiu atveju viską lemiamas veiksnys yra bandos jausmas.

Panaši mechanika yra atspindėta Kirmano skruzdžių modelyje. Tačiau paties modelio pritaikymo galimybės yra daug platesnės nei vien skruzdžių kolonijos modeliavimas. Kirmanas, ekonomistas, kūrė šį modelį kaip įrankį įvairių sistemų ekonomikoje modeliavimui (žr. 1 ir vėlesnius jo darbus). Šiuo metu šis įrankis yra vienas pagrindinių įrankių naudojamų finansų rinkų modeliavimui agentais (pvz. 2, 3).

Modelio lygtys ir detalesnė interpretacija

Įžangoje trumpai aprašytą modelinę skruzdžių koloniją kiekvienu laiko momentu pilnai nusako skruzdžių, naudojančių konkretų maisto šaltinį, skaičius. Tegu vieną maisto šaltinį naudoja skruzdžių, tokiu atveju kitą maisto šaltinį atitinkamai naudos , nes yra visų skruzdžių, esančių kolonijoje, skaičius, skruzdžių. Taigi kintamąjį tikslinga vadinti sistemos būsenos kintamuoju arba paprasčiau sistemos būsena.

Galima įsivaizduoti, kad atsitiktinis poros skruzdžių pasirinkimas iš visų yra analogiškas dviejų kamuoliukų traukimui iš dėžės, kurioje yra baltų ir juodų kamuoliukų. Akivaizdu, kad tikimybė ištraukti skirtingų spalvų kamuoliukus yra proporcinga jų skaičiaus sandaugai , kur proporcingumo koeficientas gali reikšti skruzdžių polinkį pasikeisti informacija ir pasiduoti tarpusavio įtakai. Ši tikimybė skirtingus maisto šaltinius naudojančioms skruzdėms susitikti ir viena kitą pervilioti išreiškia bandos jausmo skruzdžių kolonijoje mąstą.

Yra būtina įvesti ir tam tikrą tikimybę, kad skruzdės savo iniciatyva atras naują maitinimosi šaltinį ir pradės jį naudoti. Nors ir maža, bet tokia galimybė egzistuoja ir yra proporcinga vieną maisto šaltinį naudojančių skruzdžių skaičiui arba , arba . Todėl savaiminio perėjimo tikimybės modelyje turi būti įtraukiamos į bendrų šuolio tikimybių išraiškas. Konkrečiu atveju polinkio į individualų elgesį parametrus galima pasirinkti vienodus, bet siekiant lygčių bendrumo galima pasirinkti skirtingus kiekvienam maisto šaltiniui, t.y. ir .

Natūralu manyti, kad sistemos pokyčių mąstas turi priklausyti ir nuo laiko trukmės tarp skruzdžių susitikimų ar savarankiško naujo maisto šaltinio atradimų, todėl reikia įvesti ir proporcingumą laiko trukmei :

Laiko trukmės, , pasirinkimas modelyje turi būti apribotas, nes šuolių tikimybių, ir , suma turi išlikti mažesnė už vienetą kiekviename laiko intervale. Šį apribojimą galima užrašyti:

o kadangi tikimybės yra maksimalios ties , tai galime šią išraišką dar labiau supaprastinti:

Modelio rezultatai

Keisdami modelio aukščiau aptartus modelio parametrus galime stebėti kaip evoliucionuoja sistemos būsena esant skirtingoms aplinkybėms. Šioje straipsnio dalyje apžvelgsime modelio elgesį esant skirtingoms parametrų vertėms.

Natūralu, kad esant silpnam bandos jausmui, , sistemos būsena svyruoja apie tam tikrą vidutinę vertę (žr. 1 pav.). Tokiu atveju modeliniai agentai nesiorganizuoja į grupes – jie individualiai apsisprendžia ką daryti. Kadangi bandos jausmas nebevaidina žymesnio vaidmens, tai konkreti vidutinė vertė yra apspręsta ir santykio.

1 pav. Silpno bandos jausmo atvejis (h=0.02, σ₁=σ₂=1)

Kitu kraštiniu, , atveju sistema elgiasi priešingai – didžiąją laiko dalį dauguma skruzdžių naudoja tą patį maisto šaltinį (žr. 2 pav.). Tam tikrais laiko momentais dauguma skruzdžių pakeičia naudojamą maisto šaltinį. Įdomu pastebėti, kad šie pasikeitimai sąlygojami individualizmo, nors ir labai silpno. Prilyginus parametrus atsakingus už individualų elgesį nuliui sistema visam laikui sukonverguos į būseną arba – jokių šuolių nebebus.

2 pav. Stipraus bandos jausmo atvejis (h=50, σ₁=σ₂=1).

Daug įdomesnis yra elgesys tarpiniu atveju, . Kai agentų bandos jausmas ir individualumas yra subalansuoti vienodai stebimos tendencijos burtis į grupes ir bandyti išsiskirti (žr. 3 pav.). Kaip matome tokiu atveju sistemos būsenos entropija tampa maksimalia – skirtingų sistemos būsenų stebėjimo tikimybės išsilygina.

3 pav. Bandos jausmo stiprumas lygiavertis polinkiui elgis savarankiškai (h=1, σ₁=σ₂=1).

Aukščiau pateiktuose paveiksluose ir vertes laikėme lygiomis, tačiau begalo įdomus yra ir sistemos evoliucijos pobūdis asimetriniu atveju (t.y. kai ). Toks individualaus elgesio paremtrų pasirinkimas reiškia, kad vienas šaltinis yra geresnis nei kitas. Taigi tikimybė savarankiškai atrasti vieną maisto šaltinį padidėją, o atrasti kitą sumažėja. Kaip matome tikimybės tankio funkcija 4 pav. yra pasislinkusi arčiau didesnių verčių, tad maisto šaltinis kurio atžvilgiu nustatome sistemos būseną yra naudojamas dažniau.

4 pav. Asimetrinio elgesio atvejis (h=1, σ₁=1.2, σ₂=0.8).

Programa

Ankstesnėje straipsnio dalyje vertės yra apribojamos, tačiau konkreti vertė nėra parenkama. Programoje tuo tarpu turi būti naudojama konkreti vertė, tad programoje yra apibrėžiama kaip:

Tokiu atveju ankstesnis reikalavimas vertei bus tenkinamas, kai vertė bus teigiama ir mažesnė už vienetą. Daugeliu atvejų programa puikiai veiks ir su .

Aukščiau šio užrašo Jūs turėtumėte matyti Java naršyklės programėlę. Jei jos nematote, patikrinkite ar turite įsidiegę JRE ir ar Jūsų naršyklėje Java yra įjungta. Taip pat įsitikinkite ar turite naujausią prieinamą JRE versiją. Naujausią JRE versiją galima parsisiųsti iš http://java.com/getjava.

Literatūra

• A. P. Kirman. Ants, rationality and recruitment. Quarterly Journal of Economics 108, 1993, psl. 137-156.
• S. Alfarano, T. Lux, F. Wagner. Estimation of Agent-Based Models: The Case of an Asymmetric Herding Model. Computational Economics 26 (1), 2005, psl. 19-49.
• S. Alfarano, T. Lux, F. Wagner. Time variation of higher moments in a financial market with heterogeneous agents: An analytical approach. Journal of Economic Dynamics and Control 32, 2008, psl. 101-136.