Vienakryptis Kirmano modelis

Įrašo "Vienakryptis Kirmano modelis" reprezentacinis paveikslėlis

Basso sklaidos modelis [1] yra labai svarbus rinkodaros modelis (jį jau buvome pristatę šioje svetainėje), kuris numato kaip sėkmingas produktas pasklinda rinkoje. Tuo tarpu kitas svetainėje pristatytas modelis, Kirmano modelis [2], turi labai platų pritaikymą – nuo biologijos iki finansų rinkų. [2] darbe teigiama, kad entomologų pastebėtas elgesys galėtų paaiškinti, kodėl vieni produktai (pvz. knygos) ar paslaugos (pvz. maistas restoranuose) yra populiaresnės už kitas. Taigi galima būtų tikėtis, kad yra įmanoma sutapatinti Kirmano modelį ir Basso sklaidos modelį.

Basso sklaidos modelis kaip atskiras Kirmano modelio atvejis

Basso sklaidos modelio pagrindą sudaro prielaida, kad tikimybė įsigyti produktą tiesiškai priklauso nuo įsigijusių produktą vartotojų dalies rinkoje. Matematiškai, tai užrašoma kaip:

\begin{equation} \partial_t F(t) = [1-F(t)] [p + q F(t)] , \label{bassode} \end{equation}

kur \( F(t) \) yra esamų vartotojų dalis rinkoje, \( p \) yra savarankiško įsigijimo tikimybė, o \( q \) imitacinio (dėl kitų žmonių rekomendacijų). Šios diferencialinės lygties sprendinys, kraštine sąlyga laikant \( F(0)=0 \), yra:

\begin{equation} F(t) = \frac{p \left[ e^{(p+q) t} -1 \right]}{e^{(p+q) t}+q} . \end{equation}

Naujų vartotojų skaičius per laiko vienetą, arba kitaip tariant produkto pardavimo mastai, yra šio sprendinio išvestinė:

\begin{equation} \Delta F(t) = \frac{p (p+q)^2 e^{(p+q) t}}{\left[p e^{(p+q) t}+q \right]^2} . \end{equation}

Panašios idėjos atrandamos ir Kirmano modelyje [2] – dalis skruzdžių savarankiškai atranda maisto šaltinius, o dalis atsižvelgia į kitų skruzdžių elgesį. Vienintelis esminis skirtumas nuo Basso sklaidos modelio yra tas, kad šiame modelyje agentas gali laisvai pereiti tarp abiejų būsenų. Basso sklaidos atveju tuo tarpu galima pereiti tik iš potencialaus vartotojo būsenos (t.y. dar neįsigijusio produkto) į vartotojo įsigijusio produktą būseną.

Visgi atsižvelgti į tai nėra itin sudėtinga – tereikia prilyginti vieną Kirmano modelio perėjimo tikimybę nuliui:

\begin{equation} p(X \rightarrow X+1) = (N – X) \frac{\sigma + h X}{N} \Delta t , \end{equation}

\begin{equation} p(X \rightarrow X-1) = 0 , \end{equation}

čia \( X \) yra vartotojų skaičius, o \( N-X \) potencialių vartotojų skaičius. \( \sigma \) ir \( h \) yra savarankiško įsigijimo ir sėkmingos imitacijos tikimybės (taigi šie dydžiai turėtų būti analogiški \( p \) ir \( q \) iš \eqref{bassode}). Pastebėkite, kad perėjimo tikimybės yra kiek kitokios nei originaliame Kirmano modelyje [2] (arba žr. jo aprašymą šioje svetainėje), taip yra todėl, kad daroma prielaida, kad produkto įsisavinimo spartai neturi įtakos vartotojų skaičius.

Įsivedę tolydų sistemos būsenos kintamąjį \( x=X/N \) (laikome, kad \( N \) yra pakankamai didelis, kad \( x \) būtų tolydus) ir pritaikę vieno žingsnio formalizmą [3] gauname makroskopinį modelį vienakrypčiam Kirmano modeliui,

\begin{equation} \partial_t x = (1-x) (\sigma + h x) , \end{equation}

kurio diferencialinė išraiška yra akivaizdžiai identiška Basso sklaidos modeliui. Taigi didelių \( N \) riboje galime tikėtis, kad vienakryptis Kirmano agentų modelis demonstruos identiškus rezultatus diferencialiniam Basso sklaidos modeliui.

Modelių sutapimas

Žemiau, 1 pav., matome, kad sutapimas tarp Kirmano ir Basso sklaidos modelių gerėja didėjant \( N \) ir \( \Delta t \) (čia laiko eilutės diskretizavimo žingsnis). Esant mažesnėms šių parametrų vertėms sutapimas prastėja, nes Basso modelis aprašo vidurkintą elgesį, kai tuo tarpu vienakryptis Kirmano agentų modelis pateikia tik vieną konkrečią realizaciją. Šis paveikslas yra paimtas iš [4].

bassKirmanCurves
1 pav. Sutapimas tarp Kirmano (raudoni taškai) ir Basso sklaidos (mėlynos kreivės) modelių. (a) N=1000, Δt=0.1, (b) N=1000, Δt=1, (c) N=10000, Δt=0.1, (d) N=10000, Δt=1. Kiti modelio parametrai: σ=0.01, h=0.275.

Interaktyvi programėlė

Ši interaktyvi programėlė brėžia Basso kreives, vartotojų skaičių ir pardavimo mastus, (mėlynos kreivės) ir analogiškus Kirmano agentų modelyje stebimus dydžius (raudoni taškai). Interaktyvios programėlės parametrai yra analogiški Kirmano modelio parametrams. Išimtimi yra parametras \( \Delta t \), kuris šiuo atveju reiškia laiko eilutės diskretizavimo žingsnį. Kirmano modelio \( \Delta t \) programa pasirenka pati. Taip pat programėlėje yra papildomi parametrai \( \alpha \) (piratavimo tolerancija) ir \( Y_0 \) (išankstinė labdara), kurie šiame tekste aptarti nebuvo, bet yra detaliai aptariami kitame tekste (Basso kreivės yra braižomos į šiuos papildomus parametrus neatsižvelgiant).

Jei jus domina seniau šio straipsnio pagrindine programėle buvusi Java naršyklės programėlė, tai ją galite peržiūrėti spustelėję čia. Naujos HTML5 programėlės ir Java programėlės funkcionalumai yra iš esmės identiški.

Literatūra

  • F. M. Bass. A New Product Growth Model for Consumer Durables. Management Science 15, 1969, psl. 215-227.
  • A. P. Kirman. Ants, rationality and recruitment. Quarterly Journal of Economics 108, 1993, psl. 137-156.
  • N. G. van Kampen. Stochastic process in Physics and Chemistry. North Holland, Amsterdam, 2007.
  • V. Daniunas, V. Gontis, A. Kononovicius. Agent-based versus macroscopic modeling of competition and business processes in economics. ICCGI 2011, The Sixth International Multi-Conference on Computing in the Global Information Technology, psl. 84-88. Luxembourg, 2011. Pastaba: Received IARIA Best Paper Award (see http://www.iaria.org/conferences2011/AwardsICCGI11.html). thinkmind: iccgi_2011_4_40_10188. arXiv: 1104.2895 [physics.soc-ph]. Parsisiųsti.
Palikti atsiliepimą

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *